- Среднее степенное
-
Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как
При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:
Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.
Содержание
Другие названия
Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.
По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.
Частные случаи
Средние степеней 0, ±1, 2 и имеют собственные имена:
- называется средним арифметическим;
(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)
- называется средним геометрическим;
(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)
- называется средним гармоническим.
(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)
- называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
- В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространенными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
- Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней и этих чисел:
Неравенство о средних
Неравенство о средних утверждает, что для
, причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов .
Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная по неотрицательна и обращается в ноль только при (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.
Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
где каждое из неравенств обращается в равенство только при .
См. также
- Среднее квадратическое
- Среднее взвешенное
- Среднее Колмогорова
- Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
- Неравенство Швейцера
Ссылки
- И. И. Жогин О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — В. 6. — С. 217-226.
Статистические показатели Описательная
статистикаНепрерывные
данныеКоэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные
данныеЧастота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотезСтатистический
выводДоверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
экспериментаГенеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерииZ-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Критерий согласия Колмогорова · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами Категория:- Средние величины
Wikimedia Foundation. 2010.